Warning: include_once(/pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/config.php) [function.include-once]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/main.php on line 4

Warning: include_once() [function.include]: Failed opening '/pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/config.php' for inclusion (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/main.php on line 4

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=config&host=dp-2013.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 79

Warning: file_get_contents(AGG_UPDATE_PATH?key=AGG_CODE_KEY&type=ip_list&host=dp-2013.ru) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 80

Warning: file_get_contents(AGG_CONFIG_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 90

Warning: file_get_contents(AGG_IPLIST_PATH) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 45

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 47

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/main.php:4) in /pub/home/andrekon21/dp-2013/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/main.php on line 9
Фотоэффект Парадоксальное поведение микрочастиц Квантовый гармонический осциллятор Ядерная  модель атома Атом во внешнем  магнитном поле Квантовые  статистические распределения Зонная  теория твёрдых тел
Фотопроводимость полупроводников Полупроводниковые тепловые элемент Основные  типы радиоактивности Дозиметрия

Курс лекций по физике

Квантовые  статистические распределения

 Особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике, проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными.

 В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными из курса молекулярной физики распределением Максвелла

 и

распределением Больцмана

 , где

АМ и АБ – нормировочные константы;

К  и U – кинетическая и потенциальная энергия частиц.

 В классической физике при выводе распределений считается, что одинаковые частицы принципиально различимы. Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания. Четырехпроводная звезда В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

 Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц на следующем примере. Пусть нужно распределить две частицы по трём состояниям (ячейкам). Классические частицы будем отмечать номерами 1 и 2 , а квантовые в силу тождественности одинаковыми  кружками.

Фермионы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке. Для бозонов никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается.

Для классических частиц число возможных распределений равно девяти (вероятность каждого распределения – 1/9). Для бозе–частиц получается шесть распределений (вероятность – 1/6). Для ферми–частиц реализуется только три распределения с вероятностью выпадения каждого из них, равной 1/3.

Распределение Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна.

Распределение  Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом состоянии с энергией Еi при температуре системы Т равно

Б-Э =  , где

k – постоянная Больцмана,

T – термодинамическая температура,

μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии ( и, вообще говоря, других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частиц в системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объём, и т.д.), фиксированы.

Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.

Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).

Величину  называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Еi ( далее будем для краткости писать просто Е ).

Из анализа распределения Б – Э следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра   может оказаться очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будем считать

<< 1 ). Это условие выполняется при >> 1 или при >> 1 . Тогда можно записать

 , где А =  .

Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов распределения  Б – Э переходит в классическое распределение Максвелла – Больцмана.

 <N> 

I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана;

II–статистическое распределение Бозе – Эйнштейна

Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называется вырожденным газом.

Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда << 1 , вырождение снимается и разреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу.

Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда эти газы перестают быть идеальными.

С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические явления. 

Для систем бозонов с переменным числом частиц химический потенциал равен нулю ( μ = 0 ). Распределение Бозе–Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид

 .

Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулу

 Планка для равновесного излучения.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки

которой нагреты до комнатной температуры Т . Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что  описывается выражением

 Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением

 , где

V – объём полости; с – скорость света в вакууме;  Е/с – импульс фотонов

(по аналогии с плотностью квантовых состояний  для нерелятивистских электронов с импульсом  )

 Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+dE) складывается из энергий отдельных фотонов и равна

<Nф>.gф(E).E.dE

В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому интервалу

от   до 

можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения иω,Т , представляющей собой энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице объёма

uω,T..V .dω = <Nф>gф(E)E.dE .

Тогда, заменив  dE на  и Е на  получим

 .

Квантовые  генераторы В первом приборе квантовой электроники – молекулярном генераторе активной средой являлся пучок молекул аммиака NН3 , из которого с помощью сложного квадрупольного конденсатора выводились молекулы с меньшей энергией, а обогащённый возбуждёнными молекулами пучок представлял собой активную среду. В объёмном резонаторе, взаимодействуя с молекулярным пучком, вынужденное излучение частотой ν = 24840 МГц усиливалось.

Квантовые  системы из одинаковых частиц Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц. Наиболее отчётливо это видно на примере физических систем, состоящих из одинаковых частиц, – систем электронов, протонов, нейтронов и т.д.

Бозоны  и фермионы Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозонами. Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются  статистике Бозе – Эйнштейна. К бозонам относятся фотоны, π- и к-мезоны, фононы в твёрдом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках. Все бозоны обладают нулевым или целочисленным спином.

Распределение  Ферми–Дирака Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.


Курс лекций по физике